Les quatre points sont coplanaires s'il existe deux réels \alpha et \beta tels que : \vect{AD} = \alpha \vect{AB} + \beta \vect{AC} (1). C'est-à-dire, si \vect{AD} est une combinaison linéaire des vecteurs \vect{AB} et \vect{AC}. #box \vect{AD} = \begin{pmatrix} @@v9 - (@@v0) \\ @@v10 - (@@v1) \\ @@v11 - (@@v2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} @@v9 - (@@v0) \\ @@v10 - (@@v1) \\ @@v11 - (@@v2) \end{pmatrix} #box \vect{AB} = \begin{pmatrix} @@v3 - (@@v0) \\ @@v4 - (@@v1) \\ @@v5 - (@@v2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} @@v3 - (@@v0) \\ @@v4 - (@@v1) \\ @@v5 - (@@v2) \end{pmatrix} #box \vect{AC} = \begin{pmatrix} @@v6 - (@@v0) \\ @@v7 - (@@v1) \\ @@v8 - (@@v2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} @@v6 - (@@v0) \\ @@v7 - (@@v1) \\ @@v8 - (@@v2) \end{pmatrix} On cherche les réels \alpha et \beta qui vérifient (1). Ce qui est équivalent à résoudre le système linéaire : \begin{cases} @@v12 & = & \alpha * @@v15 + \beta * @@v18 & \sur[b]{(L_1)} \\ @@v13 & = & \alpha * @@v16 + \beta * @@v19 & \sur[b]{(L_2)} \\ @@v14 & = & \alpha * @@v17 + \beta * @@v20 \end{cases} \iff \begin{cases} @@v22 & = & \alpha * @@v23 & \sur[b]{(@@v21)} \\ @@v13 & = & \alpha * @@v16 + \beta * @@v19 & \sur[b]{(L_2)} \\ @@v14 & = & \alpha * @@v17 + \beta * @@v20 \end{cases} \iff \begin{cases} \alpha & = & @@v24 \\ @@v13 & = & @@v24 * @@v16 + \beta * @@v19 \\ @@v14 & = & @@v24 * @@v17 + \beta * @@v20 \end{cases} \iff \begin{cases} \alpha & = & @@v24 \\ \beta & = & @@v25 \\ \beta & = & @@v26 \end{cases} @@if("@@v25 == @@v26", "\iff \begin{cases} \alpha & = & @@v24 \\ \beta & = & @@v26 \end{cases}", "\implies \text{pas de solution}") @@if("@@v25 == @@v26", "Les points A,B,C et D sont coplanaires", "Les points A,BC,D ne sont pas coplanaires")